傅里叶变换原理 简单难度

NAZOrip@A
[email protected] 7月28日
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本文前期不使用∑符号,以避免省略过程直接看结果

描述:

傅里叶变换就是把源(波形/图像)或限长(完整/离散)内所有可能的余弦(或正弦)波形相乘得到变弦,然后找出所有变弦的共鸣处来结算频率上源信息的位置(几对竖线/几对点). 共鸣代表在x轴上,当前所有的函数都在此流到正数,从而累计出波峰,变换就完成了。
傅里叶变换是无损的,给变换结果/过程做任何调整都会造成损失。

图1:默认状态(没有源输入)下,设采样n为0~9为一周期,n的精度为个位,画到x轴上(cos(x))所以根据 y = 振幅 · cos(2π · x周÷期 ± 横移) 的算式就能得到---

离散傅里叶变换源.png

注:cos(2π·x)的作用是把周期变成整数,否则cos(x)就以6.282为一周期

默认态特性:

所有的函数都在x=0,9上共鸣,这是因为平均所有的余弦都在开始,结束的位置最高(后面说正弦);而尽管有的余弦震荡更频繁(频率更高),也由于其它的余弦是负数而被抵消了。同时,若提高精度到无限,那么结果就会变成...┻┻┻┻┻...的样子...

宏观与微观的变换:

乘以源缩放了每个函数,微观上表现为相似的函数被增强,相异的被削弱,差别大的被翻过来;宏观上表现为原本默认波峰的位置改了,因为微观下的共鸣位置改变了:
图2:左上角cos打错成sin了,不要在意哈 变化从 cos(2π·1x/5) 到 cos(2π·9x/9) 的源,注意微观上Y轴的落点变化,以及宏观结果l(x)的变化,建议多看几遍哦

调戏.gif

在单纯 cos(2π·0/5x)的时候,结果是...┻┻┻┻┻...,乘上源就是在微观上消去相异的波,叠加相似的波;然后在宏观上就像是移动了波峰谷

图3:透过以上信息,我们能发现变换结果的对称性,也就是说在二维变换中,围着中心辐射出来的线其实是绕点对称的,因为其中的每一个亮点都是函数共鸣造就的峰值;中间最亮只因为它是所有峰值在此汇聚到一起的ultra峰值---

二维傅里叶变换结果

不过,上图中的所有变换结果都是点,没有波。因为变换取了整数。
图4:取整数后就能得到上图大量的点(或者好几条竖线),0算作黑点, 值越大点就越白

特性2---y=0.gif

位移损失:

图5:将源左移π/3(图中犯傻给约分了...),也就是1.047个x后的变换结果。

位移.png

图6:将源除以2(乘0.5)的变换结果... 竟然和图5的数据一样?

伪位移.gif

图6:这个问题此处记做位移损失,因为它们在x轴上都一样长:

x轴上一样长

解决这个问题的工具就是复数和正弦,包含在三角函数和傅里叶级数中。

基础:圆三角函数

  1. 画圆:x²+y²=a --- 绕半径√a画圆
  2. 圆周:弧度2π或角度360°,取决于算式中的单位及图表设定
  3. 斜度:tan(x)=sin(x)/cos(x),此处sin(x)为竖长,cos(x)为横长
  4. 三角勾股:√[cos(x)²+sin(x)²]=弦长,此处为1

图7:根据以上信息,看懂图中算式的意义 ---

勾股定理和圆.png

基础:傅里叶分析/傅里叶级数

  1. 共鸣:多个函数应当在某处汇集,以将此处的变换结果大幅抬高

(施工中)

----------------------------------------------(施工中)

傅里叶变换算式

重审一遍开头的y = 振幅 · cos(2π · x周÷期 + 横移) 算式,一共有以下写法(施工中)
振幅=A
x周÷期=nx÷N;nx÷P;nx÷T等;周代表n,期代表N/P/T
横移=φ

图?:(施工中)

傅里叶变换算式

一共有以下几种写法(施工中)
源=Cₖ=x[n]

图?:(施工中)

傅里叶变换算式展开
周与期:

只要源信号的周期是整数,那么用来还原信号的sin或cos(x)就都会是整数,以上的图表也都会取整数点来还原。这是因为信号的周与期是两个独立的性质:期代表长度,周代表次数(周而复始);周÷期就得到了频率。
在傅里叶级数中,不同频率的sin或cos(x)拥有一样的期长,如果像cos(0.3x)用上小数点,那么信号的长度就会延长,超出源信号的长度了

正交性:

两个有方向和大小的量相点乘得到0即正交,包括矢量,张量和函数。由于正交本身没有明确的定义,所以一般理解为点对点相乘得0。
若将向量[0,1]点乘向量[100,0],就得到[0×100,1×0],相互抵消了;然后突破点在于:每个函数都可以理解成多个向量,从一个点延伸到下一个点,而将顺序上的,两个一对的向量的做点乘再相加,如果这一批向量的最终和为0,那么就意味着它们相抵消,即正交了。(还是有点玄学...)

点乘:

就是微积分中的积分(严格说叫内积)。因为积分必须按x轴顺序来计算各种组合到一起的函数,所以根据这个性质派生出了按顺序的点对点相乘(我瞎猜的,但有那个意思...)

本文在施工中,还没有解释怎么用复数和正弦处理位移后的波形,二维变换,为什么变换结果(频域)垂直于原图线条,怎么变回来(逆变换)等,那么就这样~ 话说区分中英文括号好麻烦啊

    NAZOrip@A
    [email protected]  2020-07-30, 13:15

    被要求必须讲清楚傅里叶级数,再说傅里叶变换,所以等学会了傅里叶级数再更...

    NAZOrip@A
    [email protected]  2020-07-30, 00:52

    脑壳不见了,待我找到了再更

    NAZOrip@A
    [email protected]  2020-07-29, 11:19

    脑壳超疼,休息一下再更

    NAZOrip@A
    [email protected]  2020-07-26, 10:27

    脑壳疼,休息一下再更